Կոմպլանար (համահարթ) վեկտորներ

Սահմանում։ Միևնույն հարթությանը զուգահեռ վեկտորները կոչվում են կոմպլանար (համահարթ) վեկտորներ։ Սահմանումից հետևում է, որ կոմպլանար վեկտորները կարելի է դասավորել միևնույն հարթության վրա։

Թեորեմ։ Որպեսզի ոչ զրոյական a, b և c վեկտորները լինեն կոմպլանար, անհրաժեշտ է և բավարար, որ 

αa + βb + γc=0,

որտեղ α,β և γ ֊ն իրական թվեր են, որոնք միառժամանակ հավասար չեն զրոյի։

Անհրաժեշտւթյունը։ Ենթադրենք a, b, և c վեկտորները կոմպլանար են։ Եթե այդ վեկտորները բերենք ընդհանուր սկզբի, ապա նրանք կգտնվեն մեկ հարթության վրա։ Ընդունենք, որ նրանցից որըէ երկուսը, դիցուք a ֊ն և b -ն կոլինեար չեն։ Այդ դեպքում c վեկտորը կարող ենք արտահայտել a և b վեկտորներով (նկար 7)։ Դրա համար M կետից տանենք a և b վեկտորներին զուգահեռ ուղիղներ։

Կստանանք OBMA զուգահեռագիծը։ Գծագրից երևում է, որ c= OA + OB: Բայց OA = ma, OB = nb:

Հետևաբար c=ma+nb: Նշանակելով m=-α/γ, n=-β/γ, որտեղ γ -ն հավասար չէ 0 ֊ի, կստանանք c=-(α/γ)a - (β/γ)b, որտեղից αa + βb + γc = 0:

Եթե a, b և c վեկտորներից ցանկացած երկուսը լինեն կոլինեար, ապա կարող ենք գրել c=ka=ka+0b: Այս դեպքում ևս անհրաժեշտությունն ապացուցված է։

Բավարարությունը։ Ենթադրենք a, b և c վեկտորների միջև գոյություն ունի  αa+βb+γc=0 առնչությունը, որտեղα, β, γ, թվերը միաժամանակ հավասար չեն 0 ֊ի։ Ընդունենք, որ γ ֊ն հավասար չէ 0 ֊ի։ Այդ դեպքում տրված առնչությունը կգրենք այսպես. c=-(α/γ)a - (β/γ)b կամ c=ma+nb, որտեղ m=-α/γ, n=-β/γ: Քանի որ երկու վեկտորները և նրանց գումարը կոմպլանար են, ապա c, ma, nb վեկտորները, հետևաբար նաև c, a, b վեկտորները կլինեն կոմպլանար։